Mecánica Hamiltoniana Poisson Jacobi

Las integrales de movimiento.

Se llama integral de movimiento a cualquier función que sea constante en el espacio de fases, a lo largo de una trayectoria. Dicho de otra forma, a cualquier función constante que sea solución de las ecuaciones de Lagrange.

$\frac{d}{d t} f (q, \dot{q}, t) = 0 ⟹ f (q, \dot{q}, t) = C t e$

Este tipo de funciones constantes, la ecuación diferencial que despeja $q$ baja de segundo a primer orden, lo que facilita enormemente la integración.

Hay cuatro marcos típicos en los que encontrarse con integrales de movimiento:

Las que se derivan de la existencia de coordenadas cíclicas
Cuando el lagrangiano no depende explícitamente del tiempo
Las identificadas usando el paréntesis de Poisson del hamiltoniano
Cuando se usa el teorema de Jacobi-Poisson

Veamos cada uno de ellos

Integrales de movimiento que se derivan de coordenadas cíclicas

Y se vío en el post de mecánica hamiltoniana que para que una coordenada sea cíclica el lagrangiano no puede depender explícitamente de ella, e interesa porque encontraremos una ley de conservación, lo que siempre congratula.

$\frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0$

Y sustituyendo directamente en la i-ésima ecuación de Lagrange

$\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) - \frac{\partial L}{\partial q_{i}} = 0 ⟹ \frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}}) = 0$

Así que directamente se obtiene que el correspondiente momento es una integral primera del movimiento

$\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_{i}} = p_{i} = C t e$

El tiro parabólico de lagrangiana no depende de $x$ , y por tanto el correspondiente momento $p_{x}$ es constante. La integración de primer grado es trivial $m \dot{x} = C t e$

El hamiltoniano como integral de movimiento

Si la lagrangiana no depende explícitamente del tiempo, es decir

$\frac{\partial L}{\partial t} = 0$

Se puede demostrar que el hamiltoniano se conserva.

$\frac{d H}{d t} = - \frac{\partial L}{\partial t} = 0$

En este caso el tiempo actúa como coordenada cíclica, y el hamiltoniano es la función conservada, que además coincide frecuentemente (no obligatoriamente) con la energía mecánica del sistema.

El péndulo simple, de la lagrangiana no depende del tiempo, por tanto el hamiltoniano (la energía) se conserva. La integración en el caso general no es trivial pero sí es de primer grado en $θ$ , que es la recompensa por haber encontrado una integral de movimiento. Sería cuestión de resolver

$E = \frac{1}{2} I {\dot{θ}}^{2} - m g l \cos (θ)$

Integrales de movimiento identificadas con el corchete de Poisson del hamiltoniano

Previamente se define el paréntesis de poisson de dos funciones dependientes de $p_{i}$ y $q_{i}$ como

${f, g} = \sum_{i = 1}^{N} [\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}]$

Por otra parte desarrollando la definición de derivada total de una función $f (t, q, p)$ usando la regla de la cadena, se llega rápidamente a la expresión

$\dot{f} = \frac{\partial f}{\partial t} + {f, H}$ f˙=∂t∂f+{f,H}

y si la función $f$ no depende del tiempo y ${f, H} = 0$ , entonces $f$ es también una integral primera.

¿Como se puede usar este resultado? Es una práctica común conmutar el hamiltoniano con todas las coordenadas y momentos para ver cuales anulan el corchete de Poisson. Estas serían integrales primeras.

Un sólido rígido libre, con 6 coordenadas $(x_{i}, θ_{i})$ y 6 momentos generalizados independientes $(p_{i}, L_{i})$ . Tomando el sistema de referencia que diagonaliza el tensor de inercia, se obtienen las expresiones siguientes para el hamiltoniano y los momentos

$H = \frac{1}{2 m} (p_{x}^{2} + p_{y}^{2} + p_{z}^{2}) + \frac{1}{2} (\frac{L_{x}}{I_{x}} + \frac{L_{y}}{I_{y}} + \frac{L_{z}}{I_{z}})$

Lz $p_{i} = m {\dot{x}}_{i}$ i $L_{i} = I_{i} {\dot{θ}}_{i}$

y aplicando directamente la definición de corchete te poisson para el hamiltoniano y las coordenadas, ${p_{i}, H} = 0$

implica que se conservan los momentos lineales y angulares en todas las direcciones.

En este caso como la lagrangiana no depende del tiempo, el hamiltoniano es una función conservada (aplicando el caso 2).

Integrales de movimiento derivadas del Teorema de Jacobi-Poisson

Ahora estamos en condiciones de encontrarnos con integrales de movimiento que se derivan del uso del teorema de Jacobi-Poisson. Este teorema dice que si tenemos dos funciones $\dot{f} = 0$ y $\dot{g} = 0$ que son integrales primeras, su paréntesis de poisson que será una tercera función $h = {f, g}$ , también será una integral primera (no se demuestra aquí, perdón). Con este método no se garantiza que las terceras funciones constantes encontradas $h$ sean independientes de las que ya había, ni que se encuentren todas; pero con un poco de suerte la nueva $h$ será una integral primera de movimiento .

EJEMPLO: Supongamos una partícula para la que $L_{x}$ y $p_{z}$ son constantes, esto implica que ${L_{x}, p_{z}}$ es constante del movimiento, pero cual? En este caso $p_{y}$ según

${L_{x}, p_{z}} = {y p_{z}, p_{z}} - {z p_{y}, p_{z}} = y {p_{z}, p_{z}} + p_{z} {y, p_{z}} - z {p_{y}, p_{z}} - p_{y} {z, p_{z}} = - p_{y}$

Para el ejemplo se ha utilizado primero

$L_{x} = y p_{z} - p_{y} z$ Lx=ypz−pyz

y luego la propiedad del corchete de poisson

${h f, g} = {h, g} f - h {f, g}$

Desde un punto de vista más general, el corchete de Poisson se usa para definir un álgebra de Poisson, de las que las variedades de Poisson son un caso especial. Todas estas están nombradas en honor a Siméon Denis Poisson. Los corchetes de Poisson son otra formulación formal de la mecánica clásica. Ayudan a explicitar la conexión entre simetrías y leyes de conservación. Se derivan los corchetes de Poisson de las componentes x, y, z del momento angular.

Transformaciones canónicas.

Son transformaciones de coordenadas que convierten un sistema hamiltoniano en otro sistema hamiltoniano, es decir, que mantiene la forma de las ecuaciones de Hamilton. Si se consigue una transformación canónica (TC) tal que las nuevas coordenadas sean cíclicas, implica que tenemos un conjunto de momentos generalizados constantes, como se ha visto en el apartado de arriba «integrales de movimiento que se derivan de coordenadas cíclicas». O sea que se habrán encontrado las leyes de conservación del sistema, lo que no está nada mal.

Para llegar a este punto sin salirse del marco formal de la teoría, primero es necesario caracterizar aquellas transformaciones canónicas (TC) que mantienen la forma de los hamiltonianos.

Se buscan transformaciones de coordenadas $Q_{i} (q_{i}, p_{i}, t)$ y $P_{i} (q_{i}, p_{i}, t)$ , y una reescritura del hamiltoniano $K (Q_{i}, P_{i}, t)$ que satisfagan las ecuaciones de Hamilton aunque el hamiltoniano en sí quede transformado ( $K$ , o función Kantiana). Vamos a ver en lo que sigue las condiciones necesarias y suficientes que tienen que cumplir estas transformaciones canónicas (TC).

Condiciones directas de una TC

Para encontrar las condiciones que tienen que cumplir las TC, obligamos a la TC a cumplir las ecuaciones de Hamilton. Por simplicidad se va a realizar la demostración sólo para transformaciones independientes del tiempo, sin embargo valga decir que la condición final también se puede demostrar para transformaciones dependientes del tiempo.

La transformación de coordenadas debe cumplir por la regla de la cadena en el primer = y después por las ecuaciones de Hamilton:

${\dot{Q}}_{i} = \underset{R e g l a d e l a c a d e n a}{\underset{⏟}{\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{j}} {\dot{q}}_{j} + \frac{\partial Q_{i}}{\partial p_{j}} {\dot{p}}_{j}}} = \underset{A p l i c a e c s . H a m i l t o n}{\underset{⏟}{\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{j}} \frac{\partial H}{\partial p_{j}} - \frac{\partial Q_{i}}{\partial p_{j}} \frac{\partial H}{\partial q_{j}}}}$

${\dot{P}}_{i} = \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}} {\dot{q}}_{j} + \frac{\partial P_{i}}{\partial p_{j}} {\dot{p}}_{j} = \frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}} \frac{\partial H}{\partial p_{j}} - \frac{\partial P_{i}}{\partial p_{j}} \frac{\partial H}{\partial q_{j}}$

Por otra parte según las ecuaciones de Hamilton tenemos que

${\dot{Q}}_{i} = \frac{\partial H}{\partial P_{i}} = \frac{\partial H}{\partial q_{j}} \frac{\partial q_{j}}{\partial P_{i}} + \frac{\partial H}{\partial p_{j}} \frac{\partial p_{j}}{\partial P_{i}}$

${\dot{P}}_{i} = - \frac{\partial H}{\partial Q_{i}} = - \frac{\partial H}{\partial q_{j}} \frac{\partial q_{j}}{\partial Q_{i}} - \frac{\partial H}{\partial p_{j}} \frac{\partial p_{j}}{\partial Q_{i}}$

Comparando uno a uno los bloques superiores se tiene que para que una transformación sea canónica las condiciones necesarias y suficientes son:

$\frac{\partial Q_{i}}{\partial q_{j}} = \frac{\partial p_{j}}{\partial P_{i}}$	$\frac{\partial Q_{i}}{\partial p_{j}} = - \frac{\partial q_{j}}{\partial P_{i}}$
$\frac{\partial P_{i}}{\partial q_{j}} = - \frac{\partial p_{j}}{\partial Q_{i}}$	$\frac{\partial P_{i}}{\partial p_{j}} = \frac{\partial q_{j}}{\partial Q_{i}}$

De modo que si ya tenemos una lista de transformaciones, serán canónicas si cumplen las condiciones de arriba.

Función generatriz de una Transformación Canónica TC

Se ha visto en el apartado anterior que dada una transformación de coordenadas, es posible comprobar si es canónica o no, sin embargo no se ha presentado un método para encontrar tales transformaciones. A continuación consideramos a grandes rasgos el método de las funciones generatrices. No es que tenga una transcendencia práctica importantísima, pero forma parte de la construcción de la formulación de Hamilton-Jacobi, que es el culmen de la mecánica teórica clásica.

Se sabe que una TC debe mantener el principio de Hamilton antes y después de una transformación como la denotada a lo largo de este texto como

$Q_{i} (q_{i}, p_{i}, t)$ Qi(qi,pi,t), $P_{i} (q_{i}, p_{i}, t)$ Pi(qi,pi,t) y $K (Q_{i}, P_{i}, t)$

o sea que debe cumplir:

$\underset{I n t e g r a l d e a c c i \overset{ˊ}{o} n t r a s l a t r a n s f o r m a c i \overset{ˊ}{o} n}{\underset{⏟}{δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} (P_{i} {\dot{Q}}_{i} - K) d t}} = \underset{I n t e g r a l d e a c c i \overset{ˊ}{o} n o r i g i n a l}{\underset{⏟}{δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} (p_{i} {\dot{q}}_{i} - H) d t}} = 0$

Pero esta relación también se cumple si se añade una función arbitraria de las coordenadas, y si acaso también del tiempo, de la forma

$F (q_{i}, p_{i}, Q_{i}, P_{i}, t)$

llamada función generatriz, de modo que se obtiene la condición definitoria de una

TC: $δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} (P_{i} {\dot{Q}}_{i} - K) d t = δ \int_{t_{1}}^{t_{2}} (p_{i} {\dot{q}}_{i} - H - \frac{d F}{d t}) d t = 0$

Encontrar una función generatriz es un reto, pero se suelen dividir en cuatro tipos básicos, dependiendo de las variables de las que dependan:

$F_{1} (q_{i}, Q_{i}, t)$
$F_{2} (q_{i}, P_{i}, t)$
$F_{3} (p_{i}, Q_{i}, t)$
$F_{4} (p_{i}, P_{i}, t)$

La virtud de una función generatriz de los tipos de arriba, es que es posible encontrar la transformación en función de ella. Por ejemplo para el primer caso de $F_{1} (q_{i}, Q_{i}, t)$ F1(qi,Qi,t) tendríamos concretamente

$p_{i} = \frac{\partial F_{1}}{\partial q_{i}}$ p

$P_{i} = - \frac{\partial F_{1}}{\partial Q_{i}}$

$K = H + \frac{\partial F_{1}}{\partial t}$

Y por ejemplo para una función generatriz de tipo

$F_{2} (q_{i}, P_{i}, t) = F_{1} (q_{i}, Q_{i}, t) + Q_{i} P_{i}$

las transformaciones también son sencillas

$p_{i} = \frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}$

$Q_{i} = \frac{\partial F_{2}}{\partial P_{i}}$

$K = H + \frac{\partial F_{2}}{\partial t}$

con lo que tenemos directamente la transformación de las coordenadas y la forma del nuevo hamiltoniano $K$ , de ahí el nombre de función generatriz. Para los demás casos de funciones generatrices existen relaciones formalmente similares que se pueden encontrar en la literatura sobre este tema, pero que no se copian aquí por claridad.

Hasta el punto en que hemos avanzado, no existe una forma sistemática de encontrar la función generatriz de la TC, tal que las nuevas coordenadas sean cíclicas, hay que tantear, y existen buenos libros en los que encontrar ejemplos. Por otra parte hay TC que no son generadas por ninguno de los cuatro tipos, aunque Caratheodory demostró que siempre existe una función generatriz de una TC. Es patente que las dificultades para encontrar TC que interesan son notables. En todo caso el método está ahí y siempre sucede que una función

$F (q_{i}, p_{i}, Q_{i}, P_{i}, t)$

generatriz determina una (de hecho infinitas) TC.

Sin embargo la ecuación de Hamilton-Jacobi que maravillosamente se puede considerar la acción como una función de tipo $F_{2}$ F2, generadora de una transformación canónica de coordenadas muy interesante: La que hace que el nuevo hamiltoniano sea nulo, lo que hace que todas las coordenadas y momentos sean constantes.

Ecuación de Hamilton-Jacobi

Supongamos que existiera una función generatriz de una transformación canónica (TC) del tipo

$F_{2} (q_{i}, P_{i}, t)$ tal que el nuevo hamiltoniano K sea nulo. En este caso concreto se cumpliría que

$p_{i} = \frac{\partial F_{2}}{\partial q_{i}}$

$Q_{i} = \frac{\partial F_{2}}{\partial P_{i}}$ Qi

$K = H (q_{i}, p_{i}, t) + \frac{\partial F_{2} (q_{i}, P_{i}, t)}{\partial t} = 0$

Identificamos ahora $S = F_{2}$ .

Sustituyendo se obtiene la famosa ecuación de Hamilton-Jacobi, que es una ecuación en derivadas parciales de $S$ no lineal.

$0 = H (q_{i}, \frac{\partial S}{\partial q_{i}}, t) + \frac{\partial S}{\partial t}$

Ecuación de Hamilton-Jacobi

Se puede derivar un caso particular de esta ecuación para la partícula libre sujeta a un potencial, que lo vamos a presentar ya, porque que un poco más adelante servirá para encontrarnos con la mecánica cuántica de Schrödinger

$H = \frac{p^{2}}{2 m}$ H=2mp2

$p = \frac{\partial S}{\partial q}$ p=∂q∂S).

$0 = \frac{1}{2 m} (\nabla S)^{2} + V + \frac{\partial S}{\partial t}$

Ecuación de Hamilton-Jacobi, para la partícula libre en un potencial [Ecuación 1]

Tres años después su publicación, Jacobi demostró que a partir de una solución completa de la ecuación, se pueden obtener las soluciones de las ecuaciones canónicas de Hamilton. Una solución completa no es la solución general, sino una solución de la forma

$S = S (q_{i}, α_{i}, t) + α_{i + 1}$

Siendo las $α_{i}$ αi constantes que se identifican con los momentos generalizados en el nuevo sistema de coordenadas, es decir

$P_{i} \equiv α_{i}$

A la función $S$ se le denomina función principal de Hamilton. Salvo la constante aditiva coincide con la integral de acción de la mecánica Lagrangiana

Se interpreta entonces la acción como la función generatriz de una transformación canónica que deviene en un hamiltoniano nulo.

En este sentido existen dos visiones de la mecánica diferentes y complementarias

La que procede de la interpretación natural de las ecuaciones canónicas de Hamilton, en la que el hamiltoniano es el generador del movimiento.

La que se deriva de la ecuación de Hamilton-Jacobi, en la que la acción es un cambio de coordenadas tal que el espacio se distorsiona hasta que el movimiento se detiene (recordemos que en este contexto $\dot{Q} = \dot{P} = 0$

La constante aditiva en la acción significa que no existe un valor de referencia para la misma, sino que el punto de acción $0$ 0 podemos ponerlo donde queramos, igual que el punto $E = 0$ .

Resolución para coordenadas cíclicas y hamiltonianos independientes del tiempo.

Realmente en la mayoría de las ocasiones se usa la técnica de separación de variables para resolver la ecuación diferencial en derivadas parciales, que se puede aplicar si las coordenadas son cíclicas o si el hamiltoniano es independiente del tiempo.

Las coordenadas cíclicas aparecen típicamente en escenarios en los que existe un movimiento periódico, bien oscilatorio (como péndulos) o bien giratorio (como en potenciales centrales y problema de Kepler).

En mecánica clásica, el problema de Kepler es un caso especial del problema de los dos cuerpos, en el que los dos cuerpos interactúan por medio de una fuerza central que varía en intensidad según una ley cuadrática inversamente proporcional en función de la distancia entre ambos. La fuerza puede ser atractiva o repulsiva. El “problema” a resolver es encontrar la posición o la velocidad de los dos cuerpos a lo largo del tiempo dadas sus masas, posiciones iniciales y velocidades. Usando la mecánica clásica, la solución puede expresarse como una órbita de Kepler utilizando seis elementos orbitales.

Problema de Kepler: dos cuerpos se atraen entre sí mediante una fuerza central que actúa con un valor inversamente proporcional al cuadrado de su distancia

Si el hamiltoniano no depende de alguna coordenada concreta $q_{j}$ (es cíclica), existen soluciones de la forma

$S = F (q_{0}, . . ., q_{j - 1}, q_{j + 1}, . . ., q_{n}, P_{i}) - α_{1} q_{j}$

En este caso se reduce en una el número de variables de la función característica, sobre la que aplica la derivada parcial.

Si el hamiltoniano no depende en concreto del tiempo, entonces éste funciona como una coordenada cíclica, y se puede proponer que

$S = W (q_{i}, P_{i}) - E t$ S=W(qi,Pi)−Et

Llamándose a $W$ función característica de Hamilton, de modo que la ecuación de Hamilton-Jacobi queda algo más simple:

$H (q_{i}, \frac{\partial W (q_{i}, P_{i})}{\partial q_{i}}) = E$

Ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo

Ejemplo para el tiro parabólico

Para un cuerpo en caída libre en un campo gravitatorio constante, se obtiene un hamiltoniano independiente del tiempo. Mecánica Hamiltoniana

$H = \frac{p_{x}^{2}}{2 m} + \frac{p_{y}^{2}}{2 m} + m g y$

Para este hamiltoniano hay que encontrar la ecuación de Hamilton-Jacobi independiente del tiempo. Sustituyendo

$p_{x} = \frac{\partial S}{\partial x}, p_{y} = \frac{\partial S}{\partial y}$

y proponiendo esta separación de variables

$S (q_{i}) = W_{x} (x) + W_{y} (y) - \underset{E}{\underset{⏟}{(α_{1} + α_{2})}} t$

se obtiene la famosa ecuación buscada

$E = \frac{1}{2 m} {(\frac{\partial W_{x} (x)}{\partial x})}^{2} + \frac{1}{2 m} {(\frac{\partial W_{y} (y)}{\partial y})}^{2} + m g y$

[Ecuación 2]

Para resolver la ecuación 2, hay que tener en cuenta que si la energía es constante, deberán serlo cada uno de los sumandos por separado, lo que nos lleva a un par de ecuaciones más tratables

$α_{x} = \frac{1}{2 m} {(\frac{\partial W_{x} (x)}{\partial x})}^{2}, α_{y} = \frac{1}{2 m} {(\frac{\partial W_{y} (y)}{\partial y})}^{2} + m g y$

Es claro que $α_{x}$ y $α_{x}$ tienen dimensiones de Energía. Por otra parte según la demostración de Jacobi, se deben identificar las constantes $α_{i}$ con los momentos generalizados en el nuevo sistema de coordenadas. Puede parecer sorprendente que un momento generalizado posea dimensiones de energía recordando los típicos momentos lineales y angulares. Sin embargo no hay que olvidar que en general $P_{i} \equiv P_{i} (q_{i}, p_{i}, t)$ con lo que la teoría no ofrece ninguna garantía sobre cuales deben ser las dimensiones de $P_{i}$ Pi.

Se puede entrever que si la transformación de coordenadas que supone $S$ debe abocar a un sistema de momentos constantes (hamiltoniano nulo),

La energía es un buen candidato ya que es constante si el hamiltoniano no depende del tiempo.

Volviendo a las soluciones de las ecuaciones de arriba que son

$W_{x} = \sqrt{2 m α_{1}} x, W_{y} = \sqrt{\frac{8}{9 m g^{2}}} (α_{2} - m g y)^{\frac{3}{2}}$

Y recordando la separación de variables propuesta para la función característica $W$ W, se obtiene la función principal de Hamilton

$S (q_{i}) = \sqrt{2 m α_{1}} x + \sqrt{\frac{8}{9 m g^{2}}} (α_{2} - m g y)^{\frac{3}{2}} - \underset{E}{\underset{⏟}{(α_{1} + α_{2})}} t$

Ahora recordando las propiedades de la función generatriz de tipo $F_{2} (q_{i}, P_{i}, t)$ citadas al principio de la página, tenemos que las nuevas coordenadas generalizadas son

$β_{1} = \frac{\partial S}{\partial α_{1}} = \sqrt{\frac{m}{2 α_{1}} x} - t, β_{2} = \frac{\partial S}{\partial α_{2}} = \sqrt{\frac{2 (α_{2} - m g y)}{m g^{2}}} - t$

Ecuaciones de transformación de coordenadas

Si se imaginara un extraño mundo en el que las coordenadas fueran $β_{i}$ y los momentos fueran $α_{i}$ en este mundo el movimiento estaría detenido. La transformación vendría dada por las ecuaciones de arriba. En todo caso en nuestro mundo el movimiento lo describimos dando la vuelta a las ecuaciones de transformación como

$x = \sqrt{\frac{2 α_{1}}{m}} (β_{1} + t), y = \frac{α_{2}}{m g} - \frac{(β_{2} - t)^{2} g}{2}$

Que se asimilan tras una breve inspección a las conocidas

$x = x_{o} + v_{x_{o}} t, y = y_{o} + v_{y_{o}} t + a_{y_{o}} t^{2}$

El puente hacia la mecánica cuántica

Una buena parte del interés de la ecuación de Hamilton-Jacobi, es que resulta ser el límite clásico de la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo, y levanta un puente entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica. Este límite se encuentra cuando $h \to 0$

Se interpreta de forma que si el cuanto de acción tiende a 0 porque el universo es continuo, entonces la mecánica cuántica se convierte en clásica.

Se trata de tomar la solución de onda plana libre de la ecuación de Schrödinger que vincula la función de onda $ψ$ con la acción $S$ y sustituirla en la propia ecuación de Schrödinger. El resultado es directamente la ecuación de Hamilton-Jacobi para la partícula libre que se ha mostrado antes como caso particular de la ecuación general de Hamilton-Jacobi.

$i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ (\vec{r}, t) = - \frac{h^{2}}{2 m} \nabla^{2} ψ (\vec{r}, t) + V ψ (\vec{r}, t)$

Ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo

$ψ (\vec{r}, t) = e^{i S (\vec{r}, t) / ℏ}$

Solución de onda plana(normalizada) de la ec. de Schrödinger

Se van calculando los sumandos (por claridad en la notación se van a ignorar las variables de $ψ$ ψ partiendo de la solución de onda plana de Schrödinger.

$\frac{\partial ψ}{\partial t} = \frac{i}{ℏ} \frac{\partial S}{\partial t} e^{i S / ℏ} = \frac{i}{ℏ} \frac{\partial S}{\partial t} ψ$

$\nabla ψ = \frac{i}{ℏ} \nabla S ψ$ $\nabla^{2} ψ = \nabla (\frac{i}{ℏ} \nabla S ψ) = \frac{i}{ℏ} (\nabla^{2} S ψ + \nabla S \nabla ψ) = \frac{i}{ℏ} \nabla^{2} S ψ + {(\frac{i}{ℏ} \nabla S)}^{2} ψ$

Ahora sustituyendo en la ecuación de Schrödinger

$i ℏ (\frac{i}{ℏ} \frac{\partial S}{\partial t} ψ) = - \frac{h^{2}}{2 m} [\frac{i}{ℏ} \nabla^{2} S ψ + {(\frac{i}{ℏ} \nabla S)}^{2} ψ] + V ψ$

$- \frac{\partial S}{\partial t} = - \frac{i ℏ}{2 m} \nabla^{2} S + \frac{1}{2 m} (\nabla S)^{2} + V ψ$

Que como se ha visto en la [Ecuación 1] , para el límite clásico $h \to 0$ , es el caso particular de la ecuación de Hamilton-Jacobi para la partícula libre en un potencial

. $- \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{1}{2 m} (\nabla S)^{2} + V ψ$

tendiendo un bello puente entre la mecánica clásica y la mecánica cuántica. El mundo cuántico aparece retratado así en el valor de la constante de Planck $h \approx 6, 6.1 0^{- 34}$ , que a nuestra escala humana (sistema internacional) es ligerísimamente distinto de 0, dotándola de un significado natural muy profundo.

Invariantes Canónicos.

Siempre se agradece que una teoría física aporte teoremas de conservación o invariantes. Facilitan la solución de problemas y permiten hacerse una idea intuitiva más profunda de la teoría, aparte de que pueden convertirse en descubrimientos fundamentales.

En el caso de la mecánica hamiltoniana, además de las integrales de movimiento ya vistas, aparecen como invariantes de la teoría los corchetes de Poisson y el volumen fásico (teorema de Liouville).

Corchetes de Poisson

Ya hemos topado un poco más arriba con los corchetes de Poisson que para dos funciones dependientes de

$f (p_{i}, q_{i})$ y $g (p_{i}, q_{i})$ se define como:

${f, g} = \sum_{i = 1}^{N} [\frac{\partial f}{\partial q_{i}} \frac{\partial g}{\partial p_{i}} - \frac{\partial f}{\partial p_{i}} \frac{\partial g}{\partial q_{i}}]$

Se puede demostrar que el corchete de Poisson de estas dos funciones es invariante bajo una transformación canónica. En el caso particular de que las funciones sean idénticamente $p_{i}$ y $q_{i}$ se demuestra que aparte de ser invariantes, tienen un valor concreto:

${q_{i}, q_{j}} = 0$

${p_{i}, p_{j}} = 0$

${q_{i}, p_{j}} = δ_{i j}$

{qi,pj}=δij

Teorema de Liouville

Dentro de la imagen hamiltoniana de la mecánica, el teorema de conservación de Liouville es un resultado notable. Demuestra que dado un volumen inicial en el espacio de fases ocupado por un sistema, éste se conserva a lo largo de una trayectoria en el tiempo aunque su frontera cambie con el tiempo, como es esperado. Dado que se puede entender el transcurso del tiempo como un tipo de transformación canónica, el volumen fásico resulta ser un invariante canónico.

El volumen del espacio de fases se conserva en el tiempo.

De este modo, el teorema de Liouville proporciona un sistema evolucionando en el tiempo en el espacio de fases, y determina su evolución temporal por medio de una única función escalar, la función hamiltoniana.

Ejemplo para el oscilador armónico unidimensional

Supongamos un oscilador armónico en una dimensión representado por las coordenadas $(p, q)$ . Comprobemos que el volumen del espacio fásico es constante para una TC. Tomamos por ejemplo la TC al sistema de coordenadas $(P, Q)$ definido por:

$q = \sqrt{\frac{2 P}{m ω}} \sin Q$

$p = \sqrt{2 P m ω} \cos Q$

El volumen (área) del espacio de fases se conserva tras una TC, en este caso para las dos figuras es

2 π \frac{E}{ω}

2πωE

Ejemplo para sistemas de un gran número de partículas

Es posible llegar a un conocido resultado de la mecánica estadística a través del teorema de Liouville, que dice que la densidad de un gas en equilibrio debe ser constante. Los fundamentos de la demostración matemática son los siguientes:

El volumen en el espacio fásico es constante como ya se ha visto.

Por otra parte se considera la frontera del volumen, en donde tendremos una gran cantidad de partículas. Cualquier punto del espacio fásico que aparentemente vaya a entrar o salir de la frontera debe pasar por ella, por tanto en un momento dado tendrá las mismas condiciones iniciales que algún punto de la frontera, con lo que evolucionará a la par que el existente y no saldrá del volumen. Por tanto al transcurrir el tiempo el volumen se moverá al moverse los puntos de la frontera, pero el número de puntos que componen el volumen es tambien constante.

Dado que el volumen y el número de puntos de un sistema de este tipo es constante, se deduce que la densidad en equilibrio de un sistema de este tipo (un gas) es constante a pesar de que exista movimiento de las partículas que lo componen.

Agradecemos a Físicalandia por sus breves explicaciones.