Ecuación de Dirac

Es la ecuación de Dirac, formulada por Paul Dirac en 1928, que describe el comportamiento de partículas elementales con espín 1/2, como el electrón, cumpliendo tanto con la mecánica cuántica como con la relatividad especial. Esta ecuación fundamental predijo la existencia de la antimateria (antipartículas).

$open paren i gamma raised to the mu power partial sub mu minus m close paren psi equals 0$ (𝑖𝛾𝜇𝜕𝜇−𝑚)𝜓=0

$(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi =0$

Desglose y Componentes:

ii𝑖: La unidad imaginaria.

γμgamma raised to the mu power𝛾𝜇: Matrices de Dirac (4×4) que cumplen la relación de anticommutación

$the set gamma raised to the mu power comma gamma raised to the nu power end-set equals 2 eta raised to the mu nu power$ {𝛾𝜇,𝛾𝜈}=2𝜂𝜇𝜈.

𝜕μpartial sub mu𝜕𝜇: Cuadriderevada

$the fraction with numerator partial and denominator partial x raised to the mu power end-fraction equals open paren 1 over c end-fraction the fraction with numerator partial and denominator partial t end-fraction comma nabla close paren$ 𝜕𝜕𝑥𝜇=(1𝑐𝜕𝜕𝑡,∇).

mm𝑚: Masa de la partícula.

ψpsi𝜓: Espinor de Dirac (función de onda de 4 componentes).

Forma compacta: A menudo escrita como

$open paren modified partial with not overlay minus m close paren psi equals 0$ (𝜕−𝑚)𝜓=0 usando la notación slash de Feynman.

Nuestro objetivo es encontrar el análogo de la ecuación de Schrödinger

Nuestro objetivo es encontrar el análogo de la ecuación de Schrödinger para partículas relativistas de espín-medio. Sin embargo, cabe destacar que, incluso en la ecuación de Schrödinger, la interacción del campo con el espín era bastante ad hoc. No se explicó la razón giromagnética de 2. Se puede incorporar el espín a la ecuación no relativista utilizando el hamiltoniano de Schrödinger-Pauli , que contiene el producto escalar de las matrices de Pauli con el operador de momento.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H={1\sobre 2m}\left(\vec{\sigma}\cdot[\ve... ...{e\sobre c}\vec{A}(\vec{r},t)]\right)^2-e\phi(\vec{r},t) \egroup\end{displaymath}$

Un pequeño cálculo muestra que esto da la interacción correcta con el espín.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H={1\sobre 2m}[\vec{p}+{e\sobre c}\vec{A}(... ...t)+{e\hbar\sobre 2mc}\vec{\sigma}\cdot\vec{B}(\vec{r},t) \egroup\end{displaymath}$

Este hamiltoniano actúa sobre un espinor de dos componentes.

Podemos extender este concepto para usar la ecuación de energía relativista . La idea es reemplazar $\bgroup\color{negro}$\vec{p}$\egroup$ con en la ecuación de energía relativista. $\bgroup\color{negro}$\vec{\sigma}\cdot\vec{p}$\egroup$

$\begin{eqnarray*} \left({E\sobre c}\right)^2-p^2=(mc)^2 \\ \left({E\sobre c}-\vec... ...0}-i\hbar\vec{\sigma}\cdot\vec{\nabla}\right)\phi=(mc)^2\phi \\ \end{eqnarray*}$

En lugar de una ecuación de segundo orden en la derivada del tiempo, podemos hacer una ecuación de primer orden, como la ecuación de Schrödinger, extendiendo esta ecuación a cuatro componentes.

$\begin{eqnarray*} \phi^{(L)}&=&\phi \\ \phi^{(R)}&=&{1\over mc}\left(i\hbar{\pa... ...al x_0}-i\hbar\vec{\sigma}\cdot\vec{\nabla}\right)\phi^{(L)} \\ \end{eqnarray*}$

Ahora, reescribiéndolo en términos de y y ordenándolo como una ecuación matricial, obtenemos una ecuación que puede escribirse como un producto escalar entre 4 vectores.

$\bgroup\color{negro}$\psi_A=\phi^{(R)}+\phi^{(L)}$\egroup$

$\bgroup\color{negro}$\psi_B=\phi^{(R)}-\phi^{(L)}$\egroup$

$\begin{eqnarray*} \pmatrix{-i\hbar{\parcial\sobre\parcial x_0} & -i\hbar\vec{\sig... ...] =\hbar\left[\gamma_\mu{\parcial\sobre\parcial x_\mu}\right] \\ \end{eqnarray*}$

Define las matrices 4×4

$\bgroup\color{negro}$\gamma_\mu$\egroup$

son por.

$\begin{eqnarray*} \gamma_i&=&\pmatrix{0 & -i\sigma_i \cr i\sigma_i & 0 \cr} \\ \gamma_4&=&\pmatrix{ 1 & 0 \cr 0 & -1 \cr} \\ \end{eqnarray*}$

Con esta definición, la ecuación relativista se puede simplificar mucho.

$\begin{eqnarray*} \left(\gamma_\mu{\parcial\sobre\parcial x_\mu}+{mc\sobre\hbar}\right)\psi=0 \\ \end{eqnarray*}$

donde las matrices gamma están dadas por

\bgroup\color{negro}$\gamma_1=\pmatrix{0 & 0 & 0 & -i \cr 0 & 0 & -i & 0 \cr 0 & i & 0 & 0 \cr i & 0 & 0 & 0 \cr}$\egroup

\bgroup\color{negro}$\gamma_2=\pmatrix{0 & 0 & 0 & -1 \cr 0 & 0 & 1 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr -1 & 0 & 0 & 0 \cr}$\egroup

y satisfacen relaciones anticonmutación.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} \{\gamma_\mu,\gamma_\nu\}=2\delta_{\mu\nu} \egroup\end{displaymath}$

De hecho, cualquier conjunto de matrices que satisfaga las relaciones de anticonmutación produciría resultados físicos equivalentes, sin embargo, trabajaremos en la representación explícita anterior de las matrices gamma.

Definiendo , $\bgroup\color{negro}$\bar{\psi}=\psi^\dagger\gamma_4$\egroup$

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} j_\mu=ic\bar{\psi}\gamma_\mu\psi \egroup\end{displaymath}$

satisface la ecuación de una corriente conservada de 4 vectores

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} {\partial\sobre\partial x_\mu}j_\mu=0 \egroup\end{displaymath}$

Y también se transforma como un 4-vector. El cuarto componente del vector muestra que la densidad de probabilidad es . Esto indica que la normalización del estado incluye los cuatro componentes de los espinores de Dirac.

$\bgroup\color{negro}$\psi^\dagger\psi$\egroup$

Para los electrones no relativistas, los dos primeros componentes del espinor de Dirac son grandes, mientras que los dos últimos son pequeños.

$\begin{eqnarray*} \psi=\pmatrix{\psi_A\cr \psi_B} \\ \psi_B \aprox {c\sobre 2mc... ...p}+{e\sobre c}\vec{A}\right)\psi_A\aprox{pc\sobre 2mc^2}\psi_A\\ \end{eqnarray*}$

Usamos este hecho para escribir una ecuación aproximada de dos componentes derivada de la ecuación de Dirac en el límite no relativista.

$\begin{eqnarray*} \left({p^2\sobre 2m}-{Ze^2\sobre 4\pi r}-{p^4\sobre 8m^3c^2}+{Ze^... ...^2\sobre 8m^2c^2}\delta^3(\vec{r})\right)\psi &=&E^{(NR)}\psi \\ \end{eqnarray*}$

Esta “ecuación de Schrödinger”, derivada de la ecuación de Dirac , concuerda bien con la que usamos para comprender la estructura fina del hidrógeno. Los dos primeros términos son los términos de energía cinética y potencial para el hamiltoniano de hidrógeno no perturbado. El tercer término es la corrección relativista a la energía cinética . El cuarto término es la interacción espín-órbita correcta , incluido el efecto de precesión de Thomas que no nos tomamos el tiempo de comprender cuando hicimos la estructura fina NR. El quinto término es el llamado término de Darwin que dijimos que vendría de la ecuación de Dirac; y ahora tiene.

Para una partícula libre, cada componente del espinor de Dirac satisface la ecuación de Klein-Gordon.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} \psi_{\vec{p}}=u_{\vec{p}}e^{i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar} \egroup\end{displaymath}$

Esto es consistente con la relación energética relativista.

Las cuatro soluciones normalizadas para una partícula de Dirac en reposo son.

$\begin{eqnarray*} \psi^{(1)}=\psi_{E=+mc^2,+\hbar/2}&=&{1\over\sqrt{V}}\pmatrix{... ...\over\sqrt{V}}\pmatrix{0\cr 0\cr 0\cr 1\cr}e^{+imc^2t/\hbar} \\ \end{eqnarray*}$

El primero y el tercero tienen espín ascendente, mientras que el segundo y el cuarto tienen espín descendente. El primero y el segundo son soluciones de energía positiva, mientras que el tercero y el cuarto son soluciones de energía negativa , que aún necesitamos comprender.

El siguiente paso es encontrar las soluciones con momento definido. Las cuatro soluciones de onda plana para la ecuación de Dirac son

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} \psi^{(r)}_{\vec{p}}\equiv \sqrt{mc^2\ov... ... V}u^{(r)}_{\vec{p}}e^{i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar} \egroup\end{displaymath}$

donde los cuatro espinores están dados por.

$\begin{eqnarray*} u^{(1)}_{\vec{p}}=\sqrt{E+mc^2\sobre 2mc^2}\pmatrix{1\cr 0\cr {... ..._x-ip_y)c\sobre -E+mc^2}\cr {p_zc\sobre -E+mc^2}\cr 0\cr 1\cr} \\ \end{eqnarray*}$

$\bgroup\color{negro}$E$\egroup$

es positivo para las soluciones 1 y 2 y negativo para las soluciones 3 y 4. Los espinores son ortogonales.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} u^{(r)\dagger}_{\vec{p}} u^{(r')}_{\vec{p}}={\vert E\vert\over mc^2}\delta_{rr'} \egroup\end{displaymath}$

y las constantes de normalización se han establecido de modo que los estados estén correctamente normalizados y los espinores sigan la convención dada anteriormente, con la normalización proporcional a la energía.

Las soluciones no son en general estados propios de ningún componente del espín, sino estados propios de helicidad , el componente del espín a lo largo de la dirección del momento.

Nótese que, con $\bgroup\color{negro}$E$\egroup$ valores negativos, la exponencial tiene la velocidad de fase, la velocidad de grupo y el flujo de probabilidad en la dirección opuesta del momento, tal como lo hemos definido. Esto claramente no tiene sentido. Las soluciones 3 y 4 deben entenderse de una manera para la cual los operadores no relativistas no nos han preparado. Simplemente reetiquetemos las soluciones 3 y 4 de tal manera que $\bgroup\color{negro}$e^{i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar}$\egroup$

$\begin{eqnarray*} \vec{p}\rightarrow -\vec{p} \\ E\rightarrow -E \\ \end{eqnarray*}$

De modo que todas las energías son positivas y los momentos apuntan en la dirección de las velocidades. Esto significa que cambiamos los signos en las soluciones 3 y 4 de la siguiente manera.

$\begin{eqnarray*} \psi^{(1)}_{\vec{p}}&=&\sqrt{E+mc^2\over 2EV} \pmatrix{1\cr 0\... ...er E+mc^2}\cr 0\cr 1\cr}e^{-i(\vec{p}\cdot\vec{x}-Et)/\hbar} \\ \end{eqnarray*}$

Tenemos ondas planas de la forma

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} e^{\pm ip_\mu x_\mu/\hbar} \egroup\end{displaymath}$

Con el signo más para las soluciones 1 y 2 y el signo menos para las soluciones 3 y 4. Estos

$\bgroup\color{negro}$\pm$\egroup$

signos en la exponencial no son muy sorprendentes desde el punto de vista de las posibles soluciones de una ecuación diferencial. El problema ahora radica en que, para las soluciones 3 y 4, se debe añadir un signo menos a los operadores de momento y energía, y la fase de la función de onda en una posición fija se comporta de forma opuesta en función del tiempo a lo esperado para las soluciones 1 y 2. Es como si las soluciones 3 y 4 retrocedieran en el tiempo.

Si cambiamos la carga del electrón de $\bgroup\color{negro}$-e$\egroup$ a $\bgroup\color{negro}$+e$\egroup$ y el signo del exponente, la ecuación de Dirac permanece invariante. Por lo tanto, podemos convertir la solución con exponente negativo (retrocediendo en el tiempo) en la solución convencional con exponente positivo si cambiamos la carga a $\bgroup\color{negro}$+e$\egroup$ . Podemos interpretar las soluciones 3 y 4 como positrones. Analizaremos este cambio con más detalle al estudiar el operador de conjugación de carga.

La ecuación de Dirac debería ser invariante bajo impulsos de Lorentz y bajo rotaciones, los cuales son simplemente cambios en la definición de un sistema de coordenadas inercial. Bajo impulsos de Lorentz, se transforma como un 4-vector, pero las matrices son constantes. Se demuestra que la ecuación de Dirac es invariante bajo impulsos a lo largo de la dirección si transformamos el espinor de Dirac según $\bgroup\color{negro}${\parcial\sobre\parcial x_\mu}$\egroup$ $\bgroup\color{negro}$\gamma_\mu$\egroup$ $\bgrupo\color{negro}$x_i$\egrupo$

$\begin{eqnarray*} \psi'&=&S_{boost}\psi \\ S_{boost}&=&\cosh{\chi\sobre 2}+i\gamma_i\gamma_4\sinh{\chi\sobre 2} \\ \end{eqnarray*}$

con .

$\bgroup\color{negro}$\tanh\chi=\beta$\egroup$

La ecuación de Dirac es invariante bajo rotaciones sobre el $\bgrupo\color{negro}$k$\egrupo$ eje si transformamos el espinor de Dirac según

$\begin{eqnarray*} \psi'&=&S_{rot}\psi \\ S_{rot}&=&\cos{\theta\sobre 2}+\gamma_i\gamma_j\sin{\theta\sobre 2} \end{eqnarray*}$

con

$\bgroup\color{negro}$ijk$\egroup$

es una permutación cíclica.

Otra simetría relacionada con la elección del sistema de coordenadas es la paridad. Bajo una operación de inversión de paridad, la ecuación de Dirac permanece invariante si

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} \psi'=S_P\psi=\gamma_4\psi \egroup\end{displaymath}$

Dado que , los componentes tercero y cuarto del espinor cambian de signo, mientras que los dos primeros no. Como podríamos haber elegido , solo sabemos que los componentes 3 y 4 tienen la paridad opuesta a los componentes 1 y 2 .

$\bgroup\color{negro}$\gamma_4=\pmatrix{1 & 0 & 0 & 0 \cr 0 & 1 & 0 & 0 \cr 0 & 0 & -1 & 0 \cr 0 & 0 & 0 & -1 \cr}$\egroup$

$\bgroup\color{negro}$-\gamma_4$\egroup$

A partir de matrices de 4×4, podemos derivar 16 componentes independientes de objetos covariantes. Definimos el producto de todas las matrices gamma .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} \gamma_5=\gamma_1\gamma_2\gamma_3\gamma_4 \egroup\end{displaymath}$

lo cual obviamente conmuta en sentido anticonmutativo con todas las matrices gamma.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} \{\gamma_\mu,\gamma_5\}=0 \egroup\end{displaymath}$

Para rotaciones y boosts,

$\bgroup\color{negro}$\gamma_5$\egroup$

conmuta con ,

$\bgroup\color{negro}$S$\egroup$

ya que conmuta con el par de matrices gamma. Para una inversión de paridad, conmuta con

$\bgrupo\color{negro}$S_P=\gamma_4$\egrupo$

El conjunto más simple de covariantes que podemos hacer a partir de espinores y $\bgroup\color{negro}$\gamma$\egroup$ matrices de Dirac se tabula a continuación.

\bgroup\color{negro}$\bar{\psi}\psi$\egroup

\bgroup\color{negro}$\bar{\psi}\gamma_5\psi$\egroup

Los productos de más

$\bgroup\color{negro}$\gamma$\egroup$

matrices resultan repetir las mismas cantidades porque el cuadrado de cualquier

$\bgroup\color{negro}$\gamma$\egroup$

matriz es 1.

Para muchos propósitos, resulta útil escribir la ecuación de Dirac en la forma tradicional $\bgroup\color{negro}$H\psi=E\psi$\egroup$ . Para ello, debemos separar las derivadas espacial y temporal, lo que hace que la ecuación parezca menos covariante.

$\begin{eqnarray*} \left(\gamma_\mu{\parcial\sobre\parcial x_\mu}+{mc\sobre\hbar}\r... ...mc^2}\gamma_4\right)\psi=-\hbar{\parcial\sobre\parcial t}\psi \\ \end{eqnarray*}$

Por lo tanto podemos identificar el operador a continuación como el hamiltoniano.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} H=ic\gamma_4\gamma_jp_j+mc^2\gamma_4 \egroup\end{displaymath}$

El hamiltoniano nos ayuda a identificar las constantes del movimiento. Si un operador conmuta con

$\bgroup\color{negro}$H$\egroup$

, representa una cantidad conservada.

Es fácil ver las $\bgrupo\color{negro}$p_k$\egrupo$ conmutaciones con el hamiltoniano para una partícula libre, de modo que el momento se conserva . Las componentes del momento angular orbital no conmutan con $\bgroup\color{negro}$H$\egroup$ .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} [H,L_z]=ic\gamma_4[\gamma_jp_j,xp_y-yp_x]=\hbar c\gamma_4(\gamma_1p_y-\gamma_2 p_x) \egroup\end{displaymath}$

Los componentes del espín tampoco conmutan con

$\bgroup\color{negro}$H$\egroup$

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} {[H,S_z]}=\hbar c\gamma_4[\gamma_2p_x-\gamma_1p_y] \egroup\end{displaymath}$

Pero, de lo anterior, los componentes del momento angular total conmutan con

$\bgroup\color{negro}$H$\egroup$

$\begin{eqnarray*}[H,J_z]=[H,L_z]+[H,S_z]=\hbar c\gamma_4(\gamma_1p_y-\gamma_2 p_x)+\hbar c\gamma_4[\gamma_2p_x-\gamma_1p_y]=0 \\ \end{eqnarray*}$

La ecuación de Dirac conserva naturalmente el momento angular total , pero no las partes orbital o de espín.

También podemos ver que la helicidad , o giro a lo largo de la dirección del movimiento, conmuta.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} [H,\vec{S}\cdot\vec{p}]=[H,\vec{S}]\cdot\vec{p}=0 \egroup\end{displaymath}$

Para cualquier cálculo, necesitamos conocer el término de interacción con el campo electromagnético. Basándonos en la interacción del campo con una corriente…

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} H_{int}=-{1\over c}j_\mu A_\mu \egroup\end{displaymath}$

y la corriente que hemos encontrado para la ecuación de Dirac, el hamiltoniano de interacción es.

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} H_{int}=ie\gamma_4\gamma_k A_k \egroup\end{displaymath}$

Esto es más simple que el caso no relativista, sin

$\bgroup\color{negro}$A^2$\egroup$

término y solo una potencia de

$\bgroup\color{negro}$e$\egroup$

La ecuación de Dirac presenta algunos fenómenos inesperados que podemos derivar. Los valores propios de la velocidad de los electrones siempre se $\bgroup\color{negro}$\pm c$\egroup$ encuentran en cualquier dirección. Por lo tanto, los únicos valores de velocidad que podemos medir son $\bgroup\color{negro}$\pm c$\egroup$ .

Los estados localizados, expandidos en ondas planas, contienen los cuatro componentes de las soluciones de ondas planas. La mezcla de los componentes 1 y 2 con los componentes 3 y 4 da lugar al Zitterbewegung , la oscilación muy rápida de la velocidad y la posición de un electrón.

$\begin{eqnarray*} \langle v_k\rangle&=&\sum\limits_{\vec{p}}\sum\limits_{r=1}^4\... ...mma_k u^{(r')}_{\vec{p}} e^{2i\vert E\vert t/\hbar}\right] \\ \end{eqnarray*}$

La última suma, que contiene los términos cruzados entre la energía negativa y la positiva, representa oscilaciones de frecuencia extremadamente alta en el valor esperado de la velocidad , conocido como Zitterbewegung. El valor esperado de la posición presenta oscilaciones rápidas similares.

Es posible resolver la ecuación de Dirac con exactitud para el hidrógeno de una manera muy similar a la solución no relativista. Una diferencia radica en que queda claro desde el principio que el momento angular total es una constante del movimiento y se utiliza como número cuántico básico. Existe otro número cuántico conservado relacionado con la componente de espín a lo largo de la dirección de $\bgroup\color{negro}$\vec{J}$\egroup$ . Con estos números cuánticos, la ecuación radial puede resolverse de forma similar a la del caso no relativista, obteniendo la relación de energía .

$\begin{displaymath}\bgroup\color{black} E={mc^2\over\sqrt{1+{Z^2\alpha^2\over\le... ...rt{\left(j+{1\over 2}\right)^2-Z^2\alpha^2}\right)^2}}} \egroup\end{displaymath}$

En este caso, podemos identificar el número cuántico del principio estándar como . Este resultado proporciona la misma respuesta que nuestro cálculo no relativista de orden , pero también es correcto para un orden superior . Es una solución exacta al problema de mecánica cuántica planteado, pero no incluye los efectos de la teoría de campos , como el desplazamiento Lamb y el momento magnético anómalo del electrón.

$\bgroup\color{negro}$n=n_r+j+{1\sobre 2}$\egroup$

$\bgroup\color{negro}$\alpha^4$\egroup$

Un cálculo de la dispersión de Thomson muestra que incluso la dispersión de fotones de baja energía simple se basa en los estados de “energía negativa” o positrones para obtener una respuesta distinta de cero. Si el cálculo se realiza con los dos diagramas en los que un fotón es absorbido y luego emitido por un electrón (y viceversa), el resultado es cero a baja energía porque el hamiltoniano de interacción conecta el primer y segundo estado de onda plana con el tercero y cuarto en momento cero. Esto contradice los cálculos clásicos y no relativistas, así como la medición. Hay diagramas adicionales si consideramos la posibilidad de que el fotón pueda crear un par electrón-positrón que se aniquile con el electrón inicial emitiendo un fotón (o con los fotones inicial y final intercambiados). Estos dos términos dan la respuesta correcta. El cálculo de la dispersión de Thomson deja claro que no podemos ignorar los nuevos estados de “energía negativa” o positrones.

La ecuación de Dirac es invariante bajo conjugación de carga, definida como el cambio de estados de electrones a estados de positrones con carga opuesta, con el mismo momento y espín (y cambiando el signo de los campos externos). Para ello, el espinor de Dirac se transforma según…

$\begin{displaymath}\bgroup\color{negro} \psi'= \gamma_2\psi^* \egroup\end{displaymath}$

Por supuesto, una segunda operación de conjugación de carga devuelve el estado al original

$\bgroup\color{negro}$\psi$\egroup$

. Al aplicar esto a las soluciones de ondas planas se obtiene

$\begin{eqnarray*} \psi^{(1)}_{\vec{p}}=\sqrt{mc^2\over\vert E\vert V} u^{(1)}_{... ...{-\vec{p}} e^{i(-\vec{p}\cdot\vec{x}-\vert E\vert t)/\hbar} \\ \end{eqnarray*}$

que define nuevos espinores de positrones y que son conjugados de carga de y .

$\bgroup\color{negro}$v^{(1)}_{\vec{p}}$\egroup$

$\bgroup\color{negro}$v^{(2)}_{\vec{p}}$\egroup$

$\bgroup\color{negro}$u^{(1)}_{\vec{p}}$\egroup$

$\bgroup\color{negro}$u^{(2)}_{\vec{p}}$\egroup$

Lea también la importancia de esta ecuación para la Teoría M

https://fisicacuanticalibre.info/category/teoria-m

Clasificación	Forma covariante	Número de componentes

Escalar	$\bgroup\color{negro}$\bar{\psi}\psi$\egroup$	1
Pseudoescalar	$\bgroup\color{negro}$\bar{\psi}\gamma_5\psi$\egroup$	1
Vector	$\bgroup\color{negro}$\bar{\psi}\gamma_\mu\psi$\egroup$	4
Vector axial	$\bgroup\color{negro}$\bar{\psi}\gamma_5\gamma_\mu\psi$\egroup$	4
Tensor antisimétrico de rango 2	$\bgroup\color{negro}$\bar{\psi}\sigma_{\mu\nu}\psi$\egroup$	6
Total		16

Nuestro objetivo es encontrar el análogo de la ecuación de Schrödinger

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