Principio de d’Alembert

El principio de d’Alembert, enunciado por Jean d’Alembert en su obra maestra Tratado de la dinámica de 1743, establece que la suma de las fuerzas externas que actúan sobre un cuerpo y las denominadas fuerzas de inercia forman un sistema de fuerzas en equilibrio para un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. A este equilibrio en aceleración se le denomina equilibrio dinámico

El principio de d’Alembert establece que para todas las fuerzas externas (excluidas las de ligadura) de un sistema determinado su trabajo (virtual) o energía será:

$\sum _{i}(\mathbf {F} _{i}-{\dot {\mathbf {p} }}_{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=0$

Donde la suma se extiende sobre todas las partículas del sistema, siendo: $F_{i}$ , fuerza aplicada resultante sobre la partícula i-ésima. $p_{i}$ , momento lineal o cantidad de movimiento de la partícula i-ésima. $δ r_{i}$ , cualquier desplazamiento virtual (compatible con las ligaduras) de la partícula i-ésima.

El principio de d’Alembert es realmente una generalización de la segunda ley de Newton en una forma aplicable a sistemas con ligaduras, ya que incorpora el hecho de que las fuerzas de ligadura no realizan trabajo en un movimiento compatible. Por otra parte el principio equivale a las ecuaciones de Euler-Lagrange. Lagrange usó este principio bajo el nombre de principio de velocidades generalizadas, para encontrar sus ecuaciones, en la memoria sobre las libraciones de la Luna de 1764, abandonando desde entonces el principio de acción y basando todo su trabajo en el principio de D’Alembert durante el resto de su vida y de manera especial en su Mécanique Analytique. Tal cambio de actitud pudo estar influido por dos razones:

En primer lugar, el principio de acción estacionaria está ligado a la existencia de una función potencial, cuya existencia no requiere en el principio de d’Alembert.
En segundo lugar, el principio de acción se presta a interpretaciones filosóficas y teleológicas que no le gustaban a Lagrange.

Finalmente debe señalarse que el principio de d’Alembert es particularmente útil en la mecánica de sólidos, donde puede usarse para plantear las ecuaciones de movimiento y cálculo de reacciones usando un campo de desplazamientos virtuales que sea diferenciable. En ese caso el cálculo mediante el principio de D’Alembert, que también se llama en ese contexto principio de los trabajos virtuales, es ventajoso sobre el enfoque más simple de la mecánica newtoniana.

El principio de D’Alembert formalmente puede deducirse de las leyes de Newton cuando las fuerzas que intervienen no dependen de la velocidad. La deducción resulta de hecho trivial si se considera un sistema de partículas tal que sobre la partícula i-ésima actúa una fuerza externa $F_{i}$ $\scriptstyle \mathbf {F} _{i}$ más una fuerza de ligadura $R_{i}$ $\scriptstyle \mathbf {R} _{i}$ entonces la mecánica newtoniana asegura que la variación de momento lineal viene dada por:

${\dot {\mathbf {p} }}_{i}={\frac {d(m\mathbf {v} _{i})}{dt}}=m{\frac {d\mathbf {v} _{i}}{dt}}=\mathbf {F} _{i}+\mathbf {R} _{i}$

Si el sistema está formado por N partículas se tendrán N ecuaciones vectoriales de la forma ${\dot{p}}_{i} - F_{i} = R_{i}$ si se multiplica cada una de estas ecuaciones por un desplazamiento arbitrario compatible con las restricciones de movimiento existentes:

$({\dot {\mathbf {p} }}_{i}-\mathbf {F} _{i})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {R} _{i}\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=\mathbf {0}$

Donde el segundo término se anula, precisamente por escogerse el sistema de desplazamientos arbitrario de modo compatible, donde matemáticamente compatible implica que el segundo término es un producto escalar nulo, asumiendo que la fuerza reactiva debido al vínculo es de potencia (virtual) nula. Finalmente sumando las N ecuaciones anteriores se sigue exactamente el principio de D’Alembert.

Considérese una viga simplemente apoyada con un tramo en voladizo y otro tramo simplemente apoyado. Si se conoce explícitamente la fuerza en el voladizo, el principio de los trabajos virtuales permite determinar fácilmente el valor de las reacciones mecánicas. Para ello, basta considerar un movimiento virtual consistente en imaginar un giro alrededor de la rótula B, para ese movimiento virtual el campo de velocidades sería:

$\mathbf {v} (x)=-\omega (x-L_{1})\mathbf {\hat {j}}$

Mientras que la suma de potencias virtuales, sería:

$\mathbf {R} _{A}\cdot \mathbf {v} _{A}+\mathbf {R} _{B}\cdot \mathbf {v} _{B}+\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} _{C}=0$

Donde:

$v_{A} = v (0) = + ω L_{1} \hat{j}$

$v_{B} = v (L_{1}) = 0$

$v_{C} = v (L_{1} + L_{2}) = - ω L_{2} \hat{j}$

sustituyendo estos valores en la expresión (*) se obtiene que:

$- | R_{A} | ω L_{1} + 0 + | F | ω L_{2} = 0, | R_{A} | = | F | \frac{L_{2}}{L_{1}}$

Viga simplemente apoyada con voladizo adicional

Campo virtual de velocidades sobre la viga anterior, para el cálculo de reacciones.

El principio de d’Alembert, en el caso de existir ligaduras no triviales, lleva a las ecuaciones de Euler-Lagrange si se usa conjunto de coordenadas generalizadas independientes, que implícitamente incorporen dichas ligaduras. Consideremos un sistema de N partículas en el que existan m ligaduras:

$G_{k} (r_{1}, \dots, r_{N}) = 0$

Por el teorema de la función implícita existirán n = 3N–m coordenadas generalizadas y N funciones vectoriales tales que:

$r_{i} = h_{i} (q_{1}, . . ., q_{n})$

El principio de d’Alembert en las nuevas coordenadas se expresará simplemente como:

$\sum _{i=1}^{N}(\mathbf {F} _{i}-{\dot {\mathbf {p} _{i}}})\cdot \delta \mathbf {r} _{i}=\sum _{j=1}^{n}(Q_{j}-W_{j})\delta q_{j}\qquad \Rightarrow \qquad (Q_{j}-W_{j})=0$

La última implicación se sigue de que ahora todas las $δ q_{j}$ son independientes. Además la fuerza generalizada $Q_{j}$ y el término $W_{j}$ vienen dados por:

$Q_{j} = \sum_{i} F_{i} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{j}}, W_{j} = \sum_{i} {\dot{p}}_{i} \frac{\partial r_{i}}{\partial q_{j}} = \sum_{i} {\dot{p}}_{i} \frac{\partial {\dot{r}}_{i}}{\partial {\dot{q}}_{j}} = [\sum_{i} \frac{d}{d t} (p_{i} \frac{\partial {\dot{r}}_{i}}{\partial {\dot{q}}_{j}}) - \sum_{i} p_{i} \frac{d}{d t} (\frac{\partial r_{i}}{\partial q_{j}})]$

Expresando $W_{j}$ en términos de la energía cinética $T$ tenemos:

$W_{j}=\sum _{i}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{i}}}{\frac {\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{i}}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-\sum _{i}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{i}}}{\frac {\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{i}}{\partial q_{j}}}=\quad {\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}$

Y por tanto finalmente usando llegamos a las ecuaciones de Euler-Lagrange:

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}=Q_{j}$

Si las fuerzas son además conservativas entonces podemos decir que existe una función potencial $U (W_{j})$ y podemos definir el lagrangiano $L = T - U$ , simplificando aún más la expresión anterior.

Sistemas en movimiento acelerado

Otra consecuencia del principio de D’Alembert es que conocidas las aceleraciones de un cuerpo rígido las fuerzas que actúan sobre el mismo se pueden obtener mediante las ecuaciones de la estática. Dicho de otra manera, si se conocen todas las aceleraciones un problema dinámico puede reducirse a un problema estático de determinación de fuerzas. Para ver esto necesitamos definir las fuerzas de inercia dadas por:

$\mathbf {F} _{in}=-m{\ddot {\mathbf {r} }}_{c},\qquad \mathbf {M} _{in}=-{\frac {d}{dt}}(\mathbf {I} _{c}{\boldsymbol {\omega }}_{c})$

Donde: ${\ddot{r}}_{c} (t)$

es la aceleración conocida por un punto del sólido. $ω (t)$ es la velocidad angular conocida del sólido. $m, I_{c} (t)$ son respectivamente la masa y el momento de inercia del sólido con respecto a un sistema de ejes que pase por el punto c.

En estas condiciones las ecuaciones del movimiento pueden escribirse como un problema de estática donde existe una fuerza adicional $F_{i n}$ y un momento adicional $M_{i n}$

$\mathbf {F} _{in}+\sum _{i=1}^{f}\mathbf {F} _{i}=0,\qquad \mathbf {M} _{in}+\sum _{j=1}^{m}\mathbf {M} _{i}=0$

Es el año 1743 y estos son los primeros esbozos de física cuántica sobre un cuerpo en movimiento acelerado y la negación de la existencia de una fuerza sobre dicho cuerpo por los motivos definidos.

d’Alembert, creo un sistema de ecuaciones no lineales para poder resolver el problema de las cargas representadas en los dibujos negando la existencia de esas fuerzas de inercia sobre un cuerpo acelerado y esto en física clásica es aplicable hoy en día a física cuántica de partículas por fuerzas de choque que newtonianas

Las fuerzas de choque newtonianas son interacciones impulsivas de gran magnitud y corta duración que ocurren cuando dos o más cuerpos colisionan, rigiéndose por la segunda y tercera ley de Newton

Estas fuerzas de acción y reacción son iguales y opuestas, conservando el momento lineal total, mientras la energía cinética puede conservarse (choque elástico) o disiparse (choque inelástico).

Conceptos Clave de Choques Newtonianos:

Fuerzas Impulsivas: Son fuerzas altas que actúan durante un intervalo de tiempo muy breve.

Segunda Ley de Newton 𝐹=Δ𝑝Δ𝑡): La fuerza es igual a la variación del momento lineal ( $p equals m v$ 𝑝=𝑚𝑣) respecto al tiempo. Una fuerza mayor genera una variación más rápida en la cantidad de movimiento.

Tercera Ley de Newton (Acción-Reacción): Cuando dos objetos colisionan, la fuerza que el objeto A ejerce sobre B es igual en magnitud y opuesta en dirección a la fuerza que B ejerce sobre A.

Tipos de Choque:

Elástico: Se conservan tanto el momento lineal como la energía cinética.

Inelástico (o Plástico): La energía cinética no se conserva, transformándose a menudo en deformación o calor.

Coeficiente de Restitución (𝑒): Mide la elasticidad de la colisión, variando entre 0 totalmente inelástico) y 1 (totalmente elástico).

Ejemplos y Aplicaciones:

Colisiones Vehiculares: La tercera ley de Newton explica las fuerzas iguales y opuestas, pero el daño depende de la masa y la estructura del vehículo (segunda ley).

Seguridad: Uso de absorbedores de impacto para reducir la fuerza de choque en caídas.

Dinámica de Choque: La fuerza de choque se puede calcular a partir de la energía cinética, el peso del objeto y la distancia de frenado.

Entonces las fuerzas de choque aplican para las ondas cuánticas del universo creando realidades paralelas sobre el estado Bose-Eistein

condensado de Bose-Einstein (CBE) es considerado el quinto estado de la materia, alcanzado al enfriar bosones cerca del cero absoluto (

$negative 273 comma 15$ ). A esta temperatura, los átomos pierden su identidad individual y se comportan como una “superonda” única, ocupando el mismo estado de menor energía, lo que permite observar efectos cuánticos a macroescala.

Características y Fundamentos:

Origen: Predicho por Albert Einstein y Satyendra Nath Bose en 1924-1925, fue creado experimentalmente por primera vez en 1995 utilizando átomos de rubidio.

Comportamiento: Los bosones (partículas con espín entero) no obedecen el Principio de Exclusión de Pauli, permitiendo que una fracción masiva de átomos se agrupe en el estado fundamental, comportándose como una entidad cuántica unificada.

Superfluidez: Exhiben propiedades de superfluidez, similares a la superconductividad, permitiendo movimientos sin fricción.

Aplicaciones y Logros:

Investigación espacial: En 2020, se logró producir CBE en la Estación Espacial Internacional (ISS), donde la microgravedad permitió tiempos de expansión más largos, mejorando el estudio de este fenómeno.

Tecnología: Se utiliza en la investigación de interferometría atómica, nanolitografía y como base para desarrollar la computación cuántica.

Simulación Cuántica: Actúan como “laboratorios de mecánica cuántica” para estudiar fenómenos fundamentales, permitiendo el estudio de interacciones atómicas mediante la ecuación de Gross-Pitaevskii.

Distribución de momentos que confirma la creación de un nuevo estado de agregación de la materia, el condensado de Bose-Einstein. Datos obtenidos en un gas de átomos de rubidio, la coloración indica la cantidad de átomos a cada velocidad, con el rojo indicando la menor y el blanco indicando la mayor. A la izquierda se observa el diagrama inmediato anterior al condensado de Bose-Einstein y al centro el inmediato posterior. A la derecha se observa el diagrama luego de cierta evaporación, con la sustancia cercana a un condensado de Bose-Einstein puro. El pico no es infinitamente angosto debido a la relación de indeterminación de Heisenberg: dado que los átomos están confinados en una región del espacio, su distribución de velocidades posee necesariamente un cierto ancho mínimo. La distribución de la izquierda es para T > Tc (sobre 400 nanokelvins (nK)), la central para T < Tc (sobre 200 nK) y la de la derecha para T << Tc (sobre 50 nK).

Que es la contracción y dilatación de distintas materias en base a la temperatura experimental, refieriéndose así a la realidad de separar las materias en un concentrado que parece de superfluidez.

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En la Roulette

La función de Lagrange (o lagrangiano) es una herramienta matemática utilizada en física y optimización. Define la diferencia entre la energía cinética ( $cap K cap E$ ) y la energía potencial ( $cap P cap E$ ), expresada como

$cap L equals cap K cap E minus cap P cap E$ 𝐿=𝐾𝐸−𝑃𝐸. En optimización, busca máximos o mínimos de funciones sujetas a restricciones, formulado como

$cap L open paren x comma y comma lambda close paren equals f of open paren x comma y close paren minus lambda center dot g of open paren x comma y close paren$ 𝐿(𝑥,𝑦,𝜆)=𝑓(𝑥,𝑦)−𝜆⋅𝑔(𝑥,𝑦)

Apuesta de docena doble, la rolette se divide en 3 docenas ya sea esta americana con doble 0 o Francesa con un solo 0, este factor considera un pequeño porcentaje de perdida de 3 digitos para la americana y un solo digito para la francesa a menos que usted apueste 0

Apuesta de docena – coloque la ficha en uno de los tres recuadros denominados “1st 12” o “2nd 12” o bien “3nd 12 es la mejor.

Apuesta de 2 docenas

Imaginemos que su apuesta es 100 pesos chilenos y usted tiene 10000 pesos chilenos y su meta es duplicar esa cantidad. El factor de probabilidad de que lo logre va a ser realmente el tiempo que usted juegue y las veces que repita la misma apuesta.

Coloque 100 pesos “2nd 12” y otros 100 pesos en “3nd 12”, la probabilidad de ganar con las 2 apuestas será.

Para dividir dos fracciones, se multiplica la primera fracción por el inverso multiplicativo de la segunda:

$three-thirds divided by one-half equals three-thirds center dot two-oneths$

Multiplicamos numeradores y denominadores de forma lineal:

$the fraction with numerator 3 center dot 2 and denominator 3 center dot 1 end-fraction equals six-thirds$ simplificar la fracción, obtenemos:

$six-thirds equals 2$

El resultado de la operación es 2.

La apuesta de la docena paga el doble por una ficha colocada en “1st 12” o “2nd 12” o bien “3nd 12”

No apueste a “1st 12”, puesto que dividirá el plato si no tiene tendencia, esta se produce por la mano del crupier o por factor externo de aire en la rouletta dependiendo de donde están las apuestas fuertes.

Y la ventaja es que usted apuesta en 2 docenas y una de ella le provocara una ganancia de 1 octavo ( $1 / 8$ ) de plato que representa una de las ocho partes iguales en que se divide un entero. Equivale a $0.125$ en forma decimal, a $12.5 %$ en porcentaje.

Descontados los ceros de la Roulette, el factor mas importante es el tiempo que le llevará lograr la meta donde

G = 12.5% de probabilidad de ganar

T = 46 % + 12.5 % de probabilidades de ganar contra un 54% de probabilidades de perder o posibilidades de perder que usted sufrirá durante el juego. Pero usted tiene 10000 pesos para amortiguar la inversión de la ganancia de 100 pesos por apuesta.

No la suba, no apueste al pleno, ni al número hot, la ruleta es un escalar matemático que le permite el cara y sello con un factor de pérdida en del 25% si juega solo colores.

Si desea incrementar apuesta usa la misma combinación use color. Fíjese que sea siempre una rouletta antigua, las modernas tienen sensores de con aire e imanes.

Debe repetir las rondas la mayor cantidad de veces posibles sin variar la aplicación de apuesta, puesto que se produce un escalar de invariabilidad numerica.

La invariancia de escala (o invariabilidad numérica) es una propiedad en física, matemáticas y economía donde un objeto o ley no cambia aunque su tamaño, energía u otras variables se multipliquen por un factor común. Esto implica que la estructura permanece autosimilar y no depende de la escala de medición.

Cuanto tiempo le tomara lograr la meta de duplicar el fondo de apuesta de los 10000 pesos si una apuesta dura 16 segundos.

149 Apuestas seguidas en rondas de 10 con descansos será el tiempo requerido para ganar otros 10000 pesos. Con la duración de una apuesta de 16 segundos. En esta que es la mejor formula posible porque los tragamonedas aplican porcentajes motivacionales de inversión de apuesta para obtener una ganancia en base al numero de jugadas pero la misma invariancia en un momento obtiene ganacias.

F = (149 / 16seg) 3600seg

El resultado son 349 años, pero si usted apuesta mas y tiene mas recursos como para apostar 1000 pesos en esta cifra para lograr los 10000 pesos le tomara 2,4 horas, si no se detiene.

Así Jean d’Alembert vivió toda su vida de la roulette y usted también puede hacerlo y logro ayudar a Blaise Pascal quien falleció en un día como hoy y soluciono el problema de las apuestas de la realeza con entretenidos juegos como la martingala y los 9 caballos que también fueron creadas por el.

D’Alembert valoró profundamente a Pascal, considerándolo un “nexo entre Arquímedes y Newton” por su fuerza intelectual. Ambos fueron matemáticos prodigiosos que aplicaron sus conocimientos a la física práctica, marcando sus respectivas épocas con un enfoque riguroso en el análisis de las fuerzas y el movimiento. Y salvo a la familia de Pascal y a Pascal de que Luis XV y Luis XVI lo colgaran por no poder ganar en la roulette, también D’Alembert introdujo el poker y el black jack para las entretenciones de la época ambos de origen irlandés en realidad.

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